Este graffiti de hace 180 años fue en realidad una ecuación que cambió la historia de las matemáticas

En 1843, William Rowan Hamilton tuvo un destello de percepción en cuatro dimensiones que todavía da forma a nuestro mundo tridimensional.

Cuando compra a través de enlaces en nuestro sitio, podemos ganar una comisión de afiliado. Así es como funciona.

El 16 de octubre de 1843, el matemático irlandés William Rowan Hamilton tuvo una revelación durante un paseo por el Canal Real de Dublín. Estaba tan emocionado que sacó su navaja y talló su descubrimiento en ese mismo momento, en el puente de Broome.

Es el graffiti más famoso de la historia de las matemáticas, pero parece bastante sencillo:

i ²=j ²=k ²=ijk=-1

Sin embargo, la revelación de Hamilton cambió la forma en que los matemáticos representan la información. Y esto, a su vez, simplificó innumerables aplicaciones técnicas: desde el cálculo de fuerzas al diseñar un puente, una máquina de MRI o una turbina eólica, hasta la programación de motores de búsqueda y la orientación de un vehículo explorador en Marte. tu>. Entonces, ¿qué significa este famoso graffiti?

Objetos giratorios

El problema matemático que Hamilton intentaba resolver era cómo representar la relación entre diferentes direcciones en un espacio tridimensional. La dirección es importante para describir fuerzas y velocidades, pero Hamilton también estaba interesado en las rotaciones 3D.

Los matemáticos ya sabían cómo representar la posición de un objeto con coordenadas como x, y y z, pero averiguar qué pasó con estas coordenadas cuando girabas el objeto requería una geometría esférica complicada. Hamilton quería un método más sencillo.

Se inspiró en una forma extraordinaria de representar rotaciones bidimensionales. El truco consistía en utilizar los llamados "números complejos", que tienen una parte "real" y una parte "imaginaria". La parte imaginaria es múltiplo del número i, "la raíz cuadrada de menos uno", que se define mediante la ecuación i ²=-1.

Relacionado: Se podrían necesitar números imaginarios para describir la realidad, según nuevos estudios

A principios del siglo XIX, varios matemáticos, entre ellos Jean Argand y John Warren, habían descubierto que un número complejo se puede representar mediante un punto en un plano. Warren también había demostrado que era matemáticamente bastante sencillo rotar una línea 90° en este nuevo plano complejo, como hacer retroceder la manecilla de un reloj de las 12:15 a las 12 del mediodía. Porque esto es lo que sucede cuando multiplicas un número por i.

Hamilton quedó profundamente impresionado por esta conexión entre los números complejos y la geometría, y se propuso intentar hacerlo en tres dimensiones. Imaginó un plano complejo tridimensional, con un segundo eje imaginario en la dirección de un segundo número imaginario j, perpendicular a los otros dos ejes.

Le tomó muchos meses arduos darse cuenta de que si quería extender la magia rotacional 2D de la multiplicación por i necesitaba números complejos cuatridimensionales, con un tercer número imaginario, k.

En este espacio matemático 4D, el eje k sería perpendicular a los otros tres. k no sólo se definiría por k ²=-1, sino que su definición también necesitaría k=ij=- ji. (La combinación de estas dos ecuaciones para k da ijk=-1.)

Juntando todo esto se obtiene i ²=j ²=k ²=ijk=-1, la revelación de que Golpeó a Hamilton como un rayo en Broome Bridge.

Cuaterniones y vectores

Hamilton llamó a sus números 4D "cuaterniones" y los usó para calcular rotaciones geométricas en el espacio 3D. Este es el tipo de rotación que se utiliza hoy en día para mover un robot, por ejemplo, u orientar un satélite.

Pero la mayor parte de la magia práctica surge cuando se considera sólo la parte imaginaria de un cuaternión. Porque esto es lo que Hamilton llamó "vector".

Un vector codifica dos tipos de información a la vez, la más famosa es la magnitud y dirección de una cantidad espacial como la fuerza, la velocidad o la posición relativa. Por ejemplo, para representar la posición de un objeto (x, y, z) en relación con el "origen" (el punto cero de los ejes de posición ), Hamilton visualizó una flecha que apuntaba desde el origen hasta la ubicación del objeto. La flecha representa el "vector de posición" x i + y j + z k.

Los "componentes" de este vector son los números x, y y z: la distancia que se extiende la flecha a lo largo de cada uno de los tres ejes. (Otros vectores tendrían diferentes componentes, dependiendo de sus magnitudes y unidades).

Medio siglo después, el excéntrico telegrafista inglés Oliver Heaviside ayudó a inaugurar el análisis vectorial moderno reemplazando el marco imaginario de Hamilton i, j, k por unidades reales. vectores, i, j, k. Pero de cualquier manera, los componentes del vector siguen siendo los mismos y, por lo tanto, la flecha y las reglas básicas para multiplicar vectores también siguen siendo las mismas.

Hamilton definió dos formas de multiplicar vectores. Uno produce un número (a esto hoy se le llama producto escalar o escalar) y el otro produce un vector (conocido como vector o producto vectorial). Estas multiplicaciones surgen hoy en una multitud de aplicaciones, como la fórmula de la fuerza electromagnética que sustenta todos nuestros dispositivos electrónicos.

Un único objeto matemático

Sin que Hamilton lo supiera, el matemático francés Olinde Rodrigues había ideado una versión de estos productos apenas tres años antes, en su propio trabajo sobre rotaciones. Pero llamar a las multiplicaciones de Rodrigues productos de vectores es una visión retrospectiva. Fue Hamilton quien unió los componentes separados en una sola cantidad, el vector.

Todos los demás, desde Isaac Newton hasta Rodrigues, no tenían el concepto de un único objeto matemático que unificara los componentes de una posición o una fuerza. (En realidad, hubo una persona que tuvo una idea similar: un matemático alemán autodidacta llamado Hermann Grassmann, quien inventó de forma independiente un sistema vectorial menos transparente al mismo tiempo que Hamilton).

Hamilton también desarrolló una notación compacta para que sus ecuaciones fueran concisas y elegantes. Usó una letra griega para indicar un cuaternión o vector, pero hoy, siguiendo a Heaviside, es común usar una letra latina en negrita.

Esta notación compacta cambió la forma en que los matemáticos representan cantidades físicas en el espacio 3D.

Tomemos, por ejemplo, una de las ecuaciones de Maxwell que relacionan los campos eléctrico y magnético:

∇ × E = -∂B/∂t

Con sólo un puñado de símbolos (no entraremos en los significados físicos de ∂/∂t y ∇ ×), esto muestra cómo un vector de campo eléctrico (E) se propaga por el espacio en respuesta a cambios en un vector de campo magnético (B).

Sin notación vectorial, esto se escribiría como tres ecuaciones separadas (una para cada componente de B y E), cada una de las cuales es una maraña de coordenadas, multiplicaciones y restas.

El poder de la perseverancia

Elegí una de las ecuaciones de Maxwell como ejemplo porque el peculiar escocés James Clerk Maxwell fue el primer físico importante en reconocer el poder del simbolismo del vector compacto. Desafortunadamente, Hamilton no vivió para ver el respaldo de Maxwell. Pero nunca abandonó su creencia en su nueva forma de representar cantidades físicas.

La perseverancia de Hamilton frente al rechazo generalizado realmente me conmovió cuando estaba investigando mi libro sobre vectores. Esperaba que algún día, "no importa cuándo", se le agradeciera su descubrimiento, pero eso no era vanidad. Había entusiasmo ante las posibles aplicaciones que imaginaba.

Estaría encantado de que los vectores se utilicen tan ampliamente hoy en día y de que puedan representar información tanto digital como física. Pero le complacería especialmente que, en la programación de rotaciones, los cuaterniones sigan siendo a menudo la mejor opción, como saben la NASA y los programadores de gráficos por computadora.

En reconocimiento a los logros de Hamilton, los aficionados a las matemáticas recorren su famoso paseo cada 16 de octubre para celebrar el Día de Hamilton. Pero todos utilizamos los frutos tecnológicos de ese sencillo graffiti todos los días.

Este artículo editado se republica desde The Conversation bajo una licencia Creative Commons. Lea el artículo original.