¿Por qué la secuencia de Fibonacci aparece con tanta frecuencia en la naturaleza?
La razón detrás de la irracionalidad.
Los girasoles son un ejemplo famoso de la secuencia de Fibonacci en la naturaleza.
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Hay pocas secuencias de números tan famosas como la que lleva el nombre del matemático italiano Leonardo Fibonacci. Y eso es por una buena razón: a partir de una receta relativamente simple, este conjunto de números parece afectar casi todos los aspectos de la vida, no solo en matemáticas, sino también en el mundo natural que nos rodea.
Y eso parece raro, ¿verdad? ¿Por qué debería aparecer en la naturaleza una secuencia particular de números, gobernada por una operación binaria regular?
La respuesta es más inteligente de lo que piensas.
¿Qué es la secuencia de Fibonacci?
Si el nombre "Fibonacci" no te suena, entonces piensa en la primera secuencia numérica "complicada" que hayas visto en la clase de matemáticas. Dice así:
Si no puedes ver cuál es la regla, es esta: cada nuevo número es simplemente la suma de los dos que lo preceden. Así es más o menos como lo descubrieron por primera vez los eruditos indios medievales que intentaban descubrir los ritmos ideales para la poesía.
En Occidente, sin embargo, se necesitarían algunos siglos más para que apareciera la secuencia, y cuando apareció, no fue como resultado de una simple suma. De hecho, tenía más que ver con la multiplicación.
"El problema original que investigó Fibonacci (en el año 1202) era la rapidez con la que los conejos podían reproducirse en circunstancias ideales", explica el Dr. Ron Knott, comunicador matemático y ex profesor en los Departamentos de Matemáticas y Ciencias de la Computación de la Universidad de Surrey, Reino Unido.
“Supongamos que se pone en un campo una pareja de conejos recién nacidos, un macho y una hembra”, relata. “El enigma que planteó Fibonacci fue… ¿cuántos pares habrá en un año? "
Ahora bien, hay que hacer algunas suposiciones para que esto funcione, razón por la cual quienes explican el problema suelen señalar que se trata de un escenario “idealizado”, es decir, biológicamente irreal. En primer lugar, ignore el hecho de que los conejos pueden morir; no es así, a los efectos de este ejercicio. Entonces, tenemos que asumir que los conejos no sólo son capaces de tener bebés al mes de edad, sino que están absolutamente seguros de que tendrán esos bebés. Ah, y olvídate de todo lo que sabes sobre la endogamia.
Luego, explica Knott, “al final del primer mes, se aparean, pero todavía queda una sola pareja. "
“Al final del segundo mes, la hembra produce una nueva pareja, por lo que ahora hay dos parejas de conejos en el campo”, continúa. “Al final del tercer mes, la hembra original produce una segunda pareja, lo que hace tres parejas en total en el campo. "
“Al final del cuarto mes, la hembra original ha producido otra pareja nueva, la hembra nacida hace dos meses también produce su primera pareja, formando cinco parejas. "
Continúa de esta manera hasta llegar al final del duodécimo mes, momento en el que habrá 144 conejas saltando felices - o, mejor dicho, 72 saltando felices y 72 que están muy preñadas y probablemente bastante cansadas. Y la secuencia de totales mensuales que nos llevó hasta allí se habrá visto así:
¿Te resulta familiar?
Una medida de irracionalidad
Así pues, desde el principio la secuencia de Fibonacci estuvo intrínsecamente ligada al mundo natural. Pero aparece en muchos más lugares además de las poblaciones de conejos: se puede ver la secuencia en el número de pétalos de las flores y las brácteas de las piñas; en las ramas de los árboles y en los remolinos de las flores de coliflor; desde el caparazón de un caracol más pequeño hasta la más grandiosa galaxia espiral de gran diseño.
La pregunta es: por qué? ¿Por qué esta secuencia particular de números (no la más simple que se pueda imaginar, pero tampoco tan complicada) debería ser tan importante para el mundo natural?
Gran parte de la respuesta se explica por un área de las matemáticas conocida como aproximación diofántica. Dicho de la manera más simple posible, es el estudio de cuán irracionales pueden ser los números, y algunas de sus conclusiones pueden sorprenderte.
Consideremos, por ejemplo, el “número más irracional”. Lo más probable es que, si te preguntaran qué número es más irracional que cualquier otro, pensarías que es un truco y la pregunta no tiene sentido, o elegirías algo como pi, no sólo irracional, sino trascendental, y el tema de interés aparentemente interminable por parte de científicos informáticos y matemáticos.
Pero, de hecho, el número más irracional es algo mucho más recatado: es φ - se pronuncia “phi” y se escribe numéricamente así:
Ahora bien, es justo decir que este número no parece tan único o interesante de inmediato. Entonces, ¿qué lo distingue como "más irracional"? Bueno, la respuesta se reduce a qué tan cerca podemos llegar a él usando aproximaciones racionales, lo cual, para que conste, “no está muy cerca en absoluto”. "
Como explicación, veamos π por un momento. Es posible que en algún momento te hayan enseñado que es aproximadamente igual a 22/7, y eso es cierto: es lo que los matemáticos llaman el segundo convergente del número, y es sólo un 0,04 por ciento mayor que el verdadero valor de pi. El tercer convergente, 333/106, está menos del 0,003 por ciento, y el cuarto, 355/113, es sólo un 0,00008 por ciento más alto que el valor real de pi.
Si bien ninguna fracción de números enteros podría describir pi exactamente, definitivamente podemos ver que algunas combinaciones pueden aproximarse bastante a él. Pero lo mismo no es cierto para phi; en cambio, no importa qué tan abajo en la lista de convergentes llegue, siempre habrá un límite en lo cerca que puede llegar a el valor real del número en comparación con la cantidad de trabajo que realizó.
Pero aquí es donde se pone interesante. Los convergentes de phi, a menudo conocidos como la “proporción áurea”, bueno, veamos si los reconoces:
La naturaleza de las matemáticas
Ahora bien, es comprensible que a estas alturas estés pensando que la naturaleza no sabe una mierda sobre la teoría avanzada de números, y todo eso seguramente debe ser una coincidencia. Pero prometemos que no lo es: "[L]os patrones y proporciones similares a Fibonacci que se encuentran en muchos organismos biológicos, incluidas las plantas, realmente están relacionados con la secuencia de Fibonacci", confirmó el astrofísico y comunicador científico Ethan Siegel en un artículo a principios de este año. , “tanto de una manera matemáticamente rigurosa como también por una razón evolutiva que tiene perfecto sentido. "
Entonces, piense en las hojas de una planta. La energía de la planta proviene del sol, por lo que su objetivo a medida que crece es maximizar la exposición de sus hojas a la luz solar. La forma obvia de hacerlo es asegurarse de que las hojas nuevas crezcan un poco alrededor del tallo respecto a la anterior, pero ¿hasta qué punto deben llegar?
Bueno, probemos algunos ejemplos. A mitad de camino no sirve; cuando crezca una tercera hoja, estará directamente debajo de la primera y no podrá ver el sol. Lo mismo ocurre con un tercio, un cuarto o un quinto del recorrido; de hecho, cualquier fracción racional del recorrido eventualmente significará que una hoja está completamente a la sombra de otra.
La respuesta, por lo tanto, debe ser optar por una fracción irracional de una revolución -y la mejor de todas debe ser la fracción más irracional. Como hemos visto, la mejor manera de alcanzar ese valor particular (después de todo, es físicamente imposible hacerlo exactamente) es utilizar los números de Fibonacci.
"Si sigues colocando hojas en ese ángulo clave [...] en relación con la hoja anterior, terminarás con los patrones de tus hojas formando una espiral de Fibonacci", explicó Siegel. “Esa misma propiedad matemática, codificada en piñas, piñas y más, explica por qué los organismos biológicos a menudo muestran números que se encuentran en la secuencia de Fibonacci. "
Entonces, la ubicuidad de los números de Fibonacci no es solo una coincidencia: es el resultado de un algoritmo de optimización perfectamente evolucionado en la naturaleza.
Sólo hay una advertencia: a veces, en realidad es sólo una coincidencia.
“Si bien hay muchas formas de espirales que se producen a partir de procesos puramente físicos y no biológicos en la naturaleza, desde remolinos y vórtices que se forman en cuerpos de agua hasta las formas aéreas de nubes de huracanes y carriles despejados, ninguna de estas espirales es similar a Fibonacci cuando se trata de los detalles matemáticos reales de sus estructuras de forma sostenida”, señaló Siegel.
“Es posible que puedas tomar una 'instantánea' donde una o más de las características exhiban proporciones que sean consistentes con las proporciones encontradas en la secuencia de Fibonacci para un momento particular, pero esas estructuras no perduran ni persisten. "
“Los patrones similares a Fibonacci que se ven en [la mayoría de] las galaxias espirales son invenciones de nuestros ojos, más que una verdad física del Universo. "